预览

函数与数学思维品质

湖南省石门县第二中学曾林

思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现,它包括思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和创造性等品质。这些品质相辅相成,密不可分，共同构建完善的思维。

“数学是一门理性思维的科学”，数学教学实质是数学思维活动的教学。在数学教学中，教师要注重学生良好地思维。

函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学教学的始终，也是高考的重点和热点。函数的定义域(或变量的允许值范围)是构成函数的三大要素之一，在相关解题教学中应该及时强调定义域(或变量的允许值范围)对解题结论的作用与影响。加深了对定义域的理解和拓展，学生面对疑问尤如有了“北极星”的指引，将不再迷失。这对训练提高学生的数学思维品质是非常有益的环节。

１　应用题

函数关系式包括定义域和对应法则，在求函数的关系式时需要考虑所求函数的定义域。同样，函数的最值是指函数在给定的定义域区间上取到最大(小)值的问题，都需要注意定义域。如：

例1：某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长和宽都不能超过16米,如果池外壁建造单价为每平方米400元,中间两条隔墙建造单价为每平方米248元,池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度不计,且无池盖)。

①写出总造价 y 元与污水处理池长 x (米)的函数关系式。

②求出污水处理池的长和宽各为多少时,

污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价。

错解: ①设污水处理池的长为x米,则宽为米,总造价

y＝ (0<x≤16).

② y≥

当且仅当 x＝即x=18时取等号，所以最低造价为44800元

错因上述解法的思路是正确的，①中所列的式子也正确，但定义域不严格，应考虑得到，即问题中的每条线段都要符合实际要求。②中应用不等式解最值时，忽视等号成立的条件为x＝18，而在定义域内取不到18,所以应根据函数的单调性进行分析求解

正解: ①　y,

②在时,函数 y 单调递减,所以当即长为16米,宽为12.5米时,总造价最低为45000元。

这个例子说明，在利用函数解决实际问题时，①要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不全面，居然与正确答案失之交臂,就体现出思维不深刻。②是若注意到了定义域的变化，又能具体问题具体分析， “一计不成，再施一计”，在学生的解题过程中展示良好的思维灵活性。

２　函数值域

函数的值域是函数值的集合。在求值域时应充分考虑到定义域的作用。如：

例2：已知的值域

错解: ∵ ∴

∴

∴当 =－１时,A有最大值为.

分析：其实不仅要考虑的范围而且还要考虑的范围,思维要深刻

正解：∵ ∴

∴当 =时,A有值域为

上面例子说明，变量的允许值范围是非常重要的。若能发现变量隐含的要求，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若在解题过程中，善于找出变量的允许值范围，“飞越误区”,便体现出良好的思维批判性。

３　函数单调性

讨论函数单调性要在定义域区间上进行讨论。判别复合函数单调性时,复合的两个函数在同一区间内的单调性一致时为增函数,单调性相反时为减函数,即“同增异减”。如:

例3：函数在单调递增,求a的取值范围．

错解: 或

∴ 或 1< a ≤4

∴

分析：当时, 是减函数。要使原函数为增函数,则需在为减函数,故．这些都考虑到了。但同时也要注意使函数的定义域：即．这是初学者最容易忽视的地方。

当时，同样也需要．

正解: 或

∴ 或

∴

如果在做复合函数题时，没有在定义域内分别考虑两个函数的单调性，就说明学生对复合函数单调性没有理解。对函数单调性概念一知半解，遇到问题时，无法抓住单调性的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

４　函数奇偶性

判断函数的奇偶性，应先考虑定义域区间是否关于零成中心对称，如果定义域区间关于零不成中心对称，则函数就是非奇非偶函数。否则就用函数奇偶性定义再进一步加以判断。如：

例4：判断函数的奇偶性．

解：∵ ∴ 定义域区间[－1,1)关于0不对称

∴ 函数是非奇非偶函数．

若学生像以上这样的过程进行解答，就很好地体现出解题思维的敏捷性。

变式：判断的奇偶性．

解：∵　　　　∴

此时如果直接比较和有一定困难，容易得非奇非偶的错误结论。可以再利用定义域将原函数化简,使思维更加深刻，有“柳暗花明又一村”的感受，又达到了突破困难的效果，体现出更好的思维敏捷性：

∵＝x+-=x　　∴= 很容易得出为奇函数。

５　函数综合题

例5．定义在Ｒ上的偶函数满足条件：且在上单调递减，若是锐角三角形的两内角，以下关系式成立的是

Ａ．　　　　　Ｂ．

Ｃ．　　　　　Ｄ．

分析:①由于是锐角,观察选项知需讨论函数定义在上的单调性。

∵　　　　　　　　∴周期为２

又∵在上单调递减　　∴在上单调递减

又∵在Ｒ上是偶函数　　　　∴在上单调递增

②要区分自变量的大小关系。需要寻找恰当的的关系

∵　　　　　∴

∵是锐角　　　　 ∴都是锐角

∴即　 ∴．选择Ｂ

或取=60°检验得而其他关系不成立

∴．选择Ｂ

本题首先要抓住问题的本质是讨论函数的单调性，特别是要确立单调区间为，这有助于培养学生思维的敏捷性。在讨论自变量的大小关系时，应进一步结合三个内角都是锐角的要求，寻找恰当的的关系（或值）。这有助于训练学生思维的深刻性。若能考虑选择题型可能不需要充要条件，以“特殊代一般”就能选出正确答案，采用检验排除法解题，则更显思维的灵活性。对比上述两种方法又突出了思维的批判性！以简捷思路解题，就有创造的快感！